Contente
- estágios
- Para começar
- Método 1 de 3: Prossiga por tentativa e erro
- Método 2 de 4: Proceda por decomposição
- Método 3 de 3: O "jogo triplo"
- Método 4 de 3: Diferença de dois quadrados
- Método 5 de 5: Usando a fórmula quadrática
- Método 6 de 5: Usando uma calculadora
Um polinômio é composto de uma variável (x) elevada a um certo poder chamado grau do polinômio, e vários outros termos de graus mais baixos e / ou várias outras constantes. Fatorar um polinômio de segundo grau (que também é chamado de "equação quadrática") significa reduzir a expressão inicial a um produto de expressões de graus menores que podem ser multiplicados um pelo outro. Esse conhecimento faz parte do curso do ensino médio e muito mais, portanto, este artigo pode ser difícil de entender se você ainda não possui o nível exigido de matemática.
estágios
Para começar
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Escreva sua expressão. A forma padrão de uma equação de segundo grau é:ax + bx + c = 0
Comece organizando os termos de sua equação de acordo com a ordem dos poderes, do maior ao menor, como na forma padrão. Tomemos por exemplo:6 + 6x + 13x = 0
Reorganizaremos essa expressão para facilitar o trabalho, movendo os termos:6x + 13x + 6 = 0. -
Encontre o formulário fatorado usando um dos métodos explicados abaixo. A fatoração fornecerá duas expressões mais curtas que fornecerão o polinômio inicial se as multiplicarmos uma pela outra:6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
Neste exemplo, (2x +3) e (3x + 2) são fatores da expressão inicial, 6x + 13x + 6. -
Confira seu trabalho! Multiplique os fatores que você identificou. Em seguida, combine os termos semelhantes e você estará pronto. Comece com:(2x + 3) (3x + 2)
Vamos começar a testar esta expressão, multiplicando os termos das duas expressões para obter:6x + 4x + 9x + 6
A partir daí, podemos adicionar 4x e 9x porque são termos do mesmo grau. Sabemos então que nossos fatores estão corretos porque caímos bem na expressão de partida:6x + 13x + 6.
Método 1 de 3: Prossiga por tentativa e erro
Se você estiver lidando com um polinômio razoavelmente simples, poderá encontrar sua decomposição como um produto fator rapidamente. Por exemplo, muitos matemáticos são capazes de ver essa expressão 4x + 4x + 1 fornece os fatores (2x + 1) e (2x + 1) por hábito e com experiência (obviamente, isso não é tão simples no caso de polinômios complexos). Neste exemplo, vamos usar uma expressão menos comum:
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Faça uma lista de fatores coeficientes tem e c. Usando a expressão do formulário ax + bx + c = 0, identifique os coeficientes tem e c e liste os fatores correspondentes. Para: 3x + 2x - 8, isso fornece:a = 3 e possui apenas um par de fatores: 1 * 3 c = -8 e quatro pares de fatores: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 e -1 * 8. -
Escreva em seu pedaço de papel dois pares de parênteses com espaço para escrever dentro deles. Você inserirá as constantes para cada expressão no espaço fornecido:(x) (x) -
Antes de x, escreva um par de fatores possíveis para o coeficiente tem. Para o coeficiente tem no nosso exemplo, 3x, há apenas uma possibilidade:(3x) (1x). -
Em seguida, preencha os dois espaços vazios restantes com um par de fatores para o coeficiente c. Veja o exemplo 8 e 1. Anote-os:(3x8) (X1). -
Decida agora o sinal (mais ou menos) entre o x e o número que você colocou depois dele. De acordo com o sinal da expressão original, é possível encontrar quais devem ser os sinais das constantes. chamada h e k as constantes de nossos fatores:Se ax + bx + c então (x + h) (x + k) Se ax - bx - c ou ax + bx - c então (x - h) (x + k) Se ax - bx + c então (x - h) (x - k)
No nosso exemplo, 3x + 2x - 8, os sinais devem ser colocados da seguinte maneira: (x - h) (x + k), o que fornece os dois fatores a seguir:(3x + 8) e (x - 1). -
Verifique seu formulário fatorado, desenvolvendo-o novamente. Um primeiro teste rápido é verificar se o termo do meio tem o valor certo. Se x não for bom, você pode ter escolhido o par errado de fatores para o coeficiente c. Vamos verificar nossos resultados:(3x + 8) (x - 1)
Fazendo uma multiplicação, obtemos:3x - 3x + 8x - 8
Adicionando os termos semelhantes (-3x) e (8x) para simplificar esta expressão, obtemos:Dê sua nota! Dê sua nota!
Agora sabemos que provavelmente identificamos os fatores errados:3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8. -
Se necessário, troque sua escolha de fatores. No nosso exemplo, vamos tentar 2 e 4 em vez de 1 e 8:(3x + 2) (x - 4)
Agora nosso coeficiente c é -8, mas as multiplicações (3x * -4) e (2 * x) dão -12x e 2x, que além disso nem sempre dão o valor inicial de b, isto é + 2x.-12x + 2x = 10x 10x ≠ 2x. -
Se necessário, inverta a ordem. Invertemos em nosso exemplo o lugar de 2 e 4:(3x + 4) (x - 2)
Agora o coeficiente c é sempre bom, mas os coeficientes dos termos em x valem esse tempo -6x e 4x. Uma vez adicionado, isso fornece:-6x + 4x = -2x 2x ≠ -2x Estamos muito próximos do valor inicial de 2x que procuramos encontrar, mas o sinal não é bom. -
Verifique os sinais novamente, se necessário. Agora manteremos a mesma ordem, mas trocaremos os sinais:(3x - 4) (x + 2)
O coeficiente antes c é sempre bom, e os termos em x agora valem (6x) e (-4x). Desde:6x - 4x = 2x 2x = 2x Então, obtemos o 2x que tínhamos originalmente. Então, provavelmente encontramos os fatores certos.
Método 2 de 4: Proceda por decomposição
Este método nos permitirá identificar todos os fatores possíveis para obter os coeficientes tem e c e use-os para identificar quais fatores são os corretos. Se os números forem muito grandes ou os outros métodos de tentativa e erro parecerem muito longos, você poderá usar esse método. Veja o seguinte exemplo:
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Multiplique o coeficiente tem pelo coeficiente c. No nosso exemplo, tem é igual a 6 e c também é igual a 6.6 * 6 = 36. -
Encontre o coeficiente b fatorando e testando os fatores obtidos. Estamos à procura de dois números que são fatores do produto tem * c que identificamos e cuja soma vale o valor do coeficiente "b" (13).4 * 9 = 36 4 + 9 = 13. -
Introduza os dois números que você acabou de inserir na sua equação; coloque-os na frente do x, de modo que sua soma seja igual ao coeficiente b. Vamos pegar as letras k e h para representar os dois números obtidos, 4 e 9:ax + kx + hx + c 6x + 4x + 9x + 6. -
Fatore seu polinômio agrupando. Organize a equação para encontrar o maior fator comum dos dois primeiros termos e o maior fator comum dos dois últimos termos. Você deve obter uma soma de duas formas fatoradas idênticas. Soma os dois coeficientes e coloque-os entre parênteses na frente da sua forma fatorada; você obtém seus dois fatores:6x + 4x + 9x + 6 2x (3x + 2) + 3 (3x + 2) (2x + 3) (3x + 2).
Método 3 de 3: O "jogo triplo"
Este método é muito semelhante ao anterior. Consiste em examinar os possíveis fatores para os produtos dos coeficientes tem e c, use-os para encontrar o valor de b. Tome por exemplo a seguinte equação:
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Multiplique o coeficiente tem pelo coeficiente c. Assim como no método de decomposição, isso nos ajudará a identificar possíveis candidatos ao coeficiente b. No nosso exemplo, tem é igual a 8 e c vale 2.8 * 2 = 16. -
Encontre os dois números cujo produto é o número encontrado anteriormente (16) e cuja soma fornece o coeficiente "b". Essa etapa é idêntica à do método de decomposição - ou seja, testamos e rejeitamos candidatos a constantes. O produto dos coeficientes tem e c é igual a 16 e o coeficiente c é igual a 10:2 * 8 = 16 8 + 2 = 10. -
Pegue esses dois números e substitua-os na fórmula "triple play". Pegue os dois números da etapa anterior - vamos chamá-los h e k - e introduza-os na seguinte expressão:((ax + h) (ax + k)) / a
Em seguida, obtemos:(8x + 8) (8x + 2)) / 8. -
Encontre qual das expressões entre parênteses no numerador é divisível pelo coeficiente tem. Neste exemplo, testamos se (8x + 8) ou (8x + 2) podem ser divididos por 8. (8x + 8) é divisível por 8, então dividiremos essa expressão por tem e deixe a outra expressão como ela é.(8x + 8) = 8 (x + 1)
A expressão que mantemos aqui é a que permanece após a divisão pelo coeficiente tem : (x + 1). -
Encontre - se houver - um fator comum maior nos dois parênteses. No nosso exemplo, a segunda expressão tem um fator comum maior de 2, pois 8x + 2 = 2 (4x + 1). Combine esta resposta com a expressão que você encontrou na etapa anterior. Você encontrou os dois fatores do seu polinômio.2 (x + 1) (4x + 1).
Método 4 de 3: Diferença de dois quadrados
Alguns coeficientes dos polinômios podem ser identificados como "quadrados", ou seja, como produtos da multiplicação de dois números. Ao identificar esses quadrados, você pode fatorar alguns polinômios muito mais rapidamente. Tomemos, por exemplo, a equação:
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Comece fatorando tudo em um fator comum maior, se possível. No nosso exemplo, vemos 27 e 12, os quais são divisíveis por 3, para que possamos "estourar" a expressão inicial da seguinte maneira:27x - 12 = 3 (9x - 4). -
Identifique se os coeficientes da sua equação são números ao quadrado. Para usar esse método, você deve encontrar raízes quadradas para seus coeficientes (observe que não consideramos sinais negativos - como estamos lidando com quadrados, eles podem ser o produto de dois números positivos ou negativo)9x = 3x * 3x e 4 = 2 * 2. -
Usando as raízes quadradas que você encontrou, escreva seus fatores. Tome os valores de tem e c encontrado anteriormente - tem = 9 e c = 4 - antes de encontrar a raiz quadrada - √tem = 3 e √c = 2. Estes serão os coeficientes de nossas expressões fatoradas:27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
Método 5 de 5: Usando a fórmula quadrática
Se todos os métodos acima falharam e você não conseguir encontrar os fatores corretos para sua equação, use a fórmula quadrática. Veja o seguinte exemplo:
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Pegue os valores dos coeficientes "a", "b" e "c" e substitua-os na seguinte fórmula quadrática:x = -b ± √ (b - 4ac)
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2a
Em seguida, obtemos a expressão:x = -4 ± √ (4-4 • 1 • 1) / 2. -
Resolva a equação para encontrar x. Como você pode ver acima, você deve obter dois valores de x:
x = -2 + √ (3) ou x = -2 - √ (3). -
Use o valor de x para encontrar os fatores. Digite os valores de x obtidos anteriormente como constantes das duas expressões polinomiais. Esses serão seus fatores. chamada h e k os valores de x e escreva as duas formas fatoradas:(x - h) (x - k)
Nesse caso, o resultado final é:(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3)).
Método 6 de 5: Usando uma calculadora
Se você puder usar uma calculadora gráfica, saiba que isso facilitará bastante sua tarefa, especialmente durante os exames. Estas instruções são válidas apenas para calculadoras gráficas da marca Texas Instrument. Tome por exemplo a seguinte equação:
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Digite sua equação na calculadora. Você terá que usar a "equação do resolvedor", ou seja, a tela. -
Faça uma representação gráfica de sua equação na calculadora. Depois de inserir a equação, pressione - você deverá ver a representação gráfica da curva aparecer (mais precisamente, você receberá um "arco" porque está trabalhando em polinômios). -
Encontre os pontos de interseção do arco com o eixo x (x). Como as equações polinomiais são tradicionalmente escritas na forma: ax + bx + c = 0, esses são os dois valores de x para os quais a expressão é igual a zero:(-1, 0), (2 , 0) x = -1, x = 2. - Se você não conseguir ler os valores de onde sua curva cruza o eixo x, pressione então. Pressione ou selecione "zero". Mova o cursor para a esquerda de um dos cruzamentos e pressione. Em seguida, mova o cursor para a direita dessa interseção e pressione novamente. Em seguida, mova o cursor o mais próximo possível do cruzamento e pressione novamente. A calculadora encontrará o valor de x. Faça o mesmo para o outro cruzamento.
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Por fim, introduza os valores x obtidos na etapa anterior em uma expressão de dois fatores. Se chamarmos h e k nossos dois valores de x, usaremos a seguinte expressão:(x - h) (x - k) = 0
E assim, obteremos os dois fatores a seguir:(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2).
- Um lápis
- De papel
- Uma equação de segundo grau (ou equação quadrática)
- Uma calculadora gráfica (opcional)