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Como fatorar um trinômio

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Autor: Monica Porter
Data De Criação: 16 Marchar 2021
Data De Atualização: 1 Julho 2024
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Como fatorar um trinômio - Conhecimento
Como fatorar um trinômio - Conhecimento

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Neste artigo: Aprendendo a fatorar x2 + bx + Aprenda a fatorar trinômios mais complicados Alguns casos especiais de fatorações trinomiais6 Referências

Como o próprio nome indica, um trinomial é uma expressão matemática que assume a forma de uma soma de três termos. Na maioria das vezes, começamos a estudar os trinômios do segundo grau que assim assinam: ax + bx + c. Existem várias maneiras de fatorar um trinomial de segundo grau. Com a prática, você chegará lá sem dificuldade. Os métodos que veremos não se aplicam aos trinômios de maior grau (com x ou x). No entanto, trabalhando esses últimos trinômios, é possível recorrer aos trinômios do segundo grau. Vemos tudo isso em detalhes.


estágios

Parte 1 Aprendendo a fatorar x + bx + c



  1. Use o método SIDS. Você pode saber, mas vamos lembrar do que se trata. Quando você precisa desenvolver um produto de binômios - (x + 2) (x + 4), por exemplo - é necessário somar os produtos dos diferentes termos na ordem "Primeiro, Externo, Interno, Último". Em detalhes, isso fornece:
    • multiplicar primeiro termos entre eles:X+2)(X+4) = X + __
    • multiplique os termos externo entre eles: (X2) (x +4) = x + 4x + __
    • multiplique os termos interno entre eles: (x +2)(X+4) = x + 4x + 2x + __
    • multiplicar Últimas termos entre eles: (x +2) (X +4) = x + 4x + 2x + 8
    • Conclua simplificando: x + 4x + 2x + 8 = x + 6x + 8




  2. Entenda o que é fatoração. Ao desenvolver o produto de dois pares, você obtém um trinomial da forma: temx +bx +c, a, bec são números reais. Quando fazemos a operação inversa, passamos do produto trinomial para o binomial, dizemos que factorises.
    • Por uma questão de clareza, os termos de um trinômio devem ser classificados em ordem decrescente de poder. Então, se lhe dermos: 3x - 10 + x, você deve reescrever em ordem: x + 3x - 10.
    • O maior expoente sendo 2 (x), falamos do trinômio "segundo grau".



  3. No início da fatoração, colocamos a forma de produto dos binômios. Escreva: (__ __)(__ __). Gradualmente, preencheremos os espaços deixados livres, bem como os sinais.
    • No momento, não colocamos nenhum sinal (+ ou -) entre os dois termos dos binômios.




  4. Você deve começar encontrando os primeiros termos de cada par. Se o seu trinômio começa com x, os dois primeiros termos dos pares necessariamente X e Xdesde x vezes x = x.
    • Nosso trinômio inicial é: x + 3x - 10 e, como não há coeficiente em x, podemos escrever imediatamente:
    • (x __) (x __)
    • Veremos mais adiante como se procede quando o coeficiente de x é diferente de 1, como 6x ou -x. No momento, ficamos com este caso simples.



  5. Tente adivinhar quais serão os últimos termos dos pares. Revise como, com o método PEID, os últimos termos dos binômios foram desenvolvidos. Agora devemos fazer o oposto. Em seguida, multiplicamos os dois últimos termos para obter o último termo ("constante") do trinômio. Então, você terá que encontrar dois números que, multiplicados entre eles, fornecerão a constante do trinômio.
    • No nosso exemplo: x + 3x - 10, a constante é -10.
    • Quais são os fatores de -10? Quais são os dois números que, multiplicados entre eles, darão a -10?
    • Aqui estão todos os casos possíveis: -1 x 10, 1 x -10, -2 x 5 e 2 x -5. Escreva essas combinações em algum lugar para se lembrar.
    • Por enquanto, seu produto binomial permanece inalterado. Ele sempre se parece com: (x __) (x __).



  6. Teste as diferentes combinações. A partir da constante, você conseguiu identificar algumas combinações de fatores, que devem ser trabalhadas (se o trinômio for redutível). Neste ponto, não há outras soluções além de testar cada combinação para ver se uma delas satisfaz o trinomial. Por exemplo:
    • No nosso exemplo, a soma do produto "Externo" e do produto "Interno" deve ser 3x (extraída de x + 3x - 1)
    • Tome a combinação de -1 e 10: (x - 1) (x + 10). A soma do produto "Externo" e do produto "Interno" fornece: 10x - x = 9x. Isso não funciona!
    • Faça a combinação 1 e -10: (x + 1) (x - 10). A soma do produto "Externo" e do produto "Interno" fornece: -10x + x = -9x. Ainda não vai! Você notará de passagem que esse último cheque foi inútil. De fato, o par (-1.10) dá 9x e o par (1, -10) dá -9x. Então, basta testar um único par.
    • Tome a combinação -2 e 5: (x - 2) (x + 5). A soma do produto "Externo" e do produto "Interno" fornece: 5x - 2x = 3x. Eureka! A resposta é: (x - 2) (x + 5).
    • No caso de trinômios tão simples como este (começando com x), podemos fazer mais curto. Basta adicionar os dois fatores potenciais, adicionar "x" no final e você verá imediatamente se é a combinação certa. Lá você faz: -2 + 5 → 3x. Se x é flanqueado por um coeficiente, o método não funciona, e é por isso que é bom lembrar o método detalhado.

Parte 2 Aprendendo a fatorar trinômios mais complicados



  1. Fatore seu trinomial em um trinomial mais simples. Suponha que você precise fatorar o seguinte trinomial: 3x + 9x - 30. Tente ver se não há um divisor comum aos três termos. Depois, pegamos o maior (se houver vários), do qual o nome de "Maior Divisor Comum" (ou PGCD). No nosso trinomial será 3. Vamos ver isso em detalhes:
    • 3x = (3) (x)
    • 9x = (3) (3x)
    • -30 = (3)(-10)
    • Assim, 3x + 9x - 30 = (3) (x + 3x - 10). Portanto, é fácil fatorar o segundo parêntese de acordo com o método descrito acima. Obtemos o seguinte: (3) (x-2) (x + 5). Não devemos esquecer o 3 colocar em fator.



  2. Às vezes, não podemos fatorar números reais, mas quantidades com incógnitas. Assim, podemos fatorar "x", "y" ou "xy". Aqui estão alguns exemplos:
    • 2xy + 14xy + 24y = (2y)(x + 7x + 12)
    • x + 11x - 26x = (X)(x + 11x - 26)
    • Matemática5 pontos (-1)(x - 6x + 9)
    • Então, é claro, fatore o novo trinomial como vimos anteriormente. Faça uma verificação para ver se não há erros. Pratique com os exercícios sugeridos no final deste artigo.



  3. Tente fatorar trinômios com um x flanqueado por um coeficiente. Alguns trinômios do segundo grau são mais difíceis de fatorar, a imagem de 3x + 10x + 8. Vamos ver como procedemos, depois o que você pode treinar com os exercícios propostos no final do artigo. Aqui está como operamos:
    • Pergunte ao produto dos pares: (__ __)(__ __)
    • Cada um dos dois termos "Primeiro" deve ter um "x" e o produto de ambos deve ser 3x. Há apenas uma possibilidade: (3x __) (x __), 3 sendo um número primo.
    • Encontre os fatores de 8. Há duas possibilidades: 1 x 8 ou 2 x 4.
    • Pegue essas combinações para encontrar as constantes dos pares. Ponto importante: como o "x" desconhecido tem coeficientes diferentes, a ordem da combinação é importante. Você deve encontrar o final do meio, aqui, 10x. Aqui estão as diferentes combinações:
    • Matemática5 pontos não!
    • Dê sua nota! Dê sua nota! 2Comentários (2) não!
    • Dê sua nota! Dê sua nota! 2Comentários (2) não!
    • Dê sua nota! Dê sua nota! 10x sim! Essa é a fatoração correta.



  4. Na presença de um desconhecido com um poder maior que 2, pode-se criar uma substituição desconhecida. Um dia, você certamente precisará fatorar um trinômio do quarto (x) ou do quinto grau (x). O objetivo é trazer esse trinômio de volta a algo conhecido, ou seja, um trinômio de segundo grau para fatorar sem problemas. Por exemplo:
    • x + 13x + 36x
    • = (x) (x + 13x + 36)
    • Invente um novo desconhecido que simplifique o problema. Vamos colocar aqui que Y = x. Colocamos um Y maiúsculo para lembrar que é um substituto. O trinomial então se torna:
    • = (x) (Y + 13Y + 36): fatoramos como na parte 1.
    • = (x) (Y + 9) (Y + 4). É hora de substituir a substituição desconhecida pelo seu valor verdadeiro:
    • = (x) (x + 9) (x + 4)
    • = (x) (x + 3) (x - 3) (x + 2) (x - 2)

Parte 3 Alguns casos especiais de trinomializações



  1. Procure possíveis números primos. Veja se a constante e / ou o coeficiente do primeiro ou terceiro termo não seriam números primos. Lembre-se de que um número é considerado "primo" quando é divisível apenas por 1 ou ele próprio. A partir dessa definição, se encontrarmos um número primo nos locais indicados acima, o trinômio só pode ser fatorado na forma de um único produto de binômio.
    • Por exemplo, em x + 6x + 5, a constante 5 é um número primo, portanto o produto binomial terá a forma: (__ 5) (__ 1)
    • Em 3x + 10x + 8, o coeficiente 3 é um número primo, então o produto dos binômios terá a forma: (3x __) (x __).
    • Finalmente, em 3x + 4x + 1, 3 e 1 Sendo números primos, a única solução possível é: (3x + 1) (x + 1). No entanto, sempre verifique a combinação. Acontece que alguns trinômios não podem ser fatorados. Assim, 3x + 100x + 1 não pode ser fatorado (dizemos que é "irredutível"). Com 3 e 1, você nunca receberá 100.



  2. É preciso sempre pensar no caso de um trinômio que seria o desenvolvimento de uma identidade notável, um quadrado perfeito para usar apenas esse exemplo. Por quadrado perfeito, entendemos o produto de dois pares perfeitamente idênticos: (x + 1) (x + 1) que escrevemos (x + 1). Aqui estão alguns destes quadrados perfeitos:
    • x + 2x + 1 = (x + 1) e x - 2x + 1 = (x - 1)
    • x + 4x + 4 = (x + 2) e x - 4x + 4 = (x - 2)
    • x + 6x + 9 = (x + 3) e x - 6x + 9 = (x - 3)
    • Um trinômio temx + bx + c é o desenvolvimento de um quadrado perfeito se tem e c são quadrados positivos (como 1, 4, 9, 16, 25 ...) e se b (positivo ou negativo) é igual a 2 (√a x √c) = 2 √ac.



  3. Veja se é possível fatorar. De fato, são trinômios que não podem ser fatorados. Se você luta para fatorar um trinômio da segunda forma canônica ax + bx + c, porque não há raízes óbvias, você deve usar o método discriminante (Δ). O último é calculado da seguinte forma: Δ = √b - 4ac. Se Δ <0, o trinomial não pode ser fatorado.
    • Para trinômios que não são de segundo grau, use o critério Eisenstein explicado na seção "Dicas".